0.9999…は1じゃないことを数学的に厳密に証明したったwwww パゲェヤァああww

1 :以下、?ちゃんねるからVIPがお送りします:2018/10/14(日) 06:25:46.965 ID:l2n8g/IRM.net
0.999…9(9がn個)=a_nとし、
0.999…:=lim(n→∞)a_nと定義する.

1=0.999…と仮定すると、
N(1)を1の開近傍系として
任意U∈N(1)に対して、ある自然数N_0が存在し、
n≧N_0ならばa_n∈U となる

しかし、{1}∈N(1)であるが、任意の自然数nに対してa_n∈{1}ではない

これは矛盾

したがって0.999…は1ではない

はい1=0.999…論者全員死亡wwwwww
くそわろおおすww

245 :以下、?ちゃんねるからVIPがお送りします:2018/10/14(日) 10:15:56.062 ID:oUwvhY8IM.net

>>240
あーこれについてはちゃんとソースあるぞ
松坂集合位相とか杉浦解析概論とか読めば?

距離空間における極限はε-Nで定義します

以上

251 :以下、?ちゃんねるからVIPがお送りします:2018/10/14(日) 10:21:44.171 ID:oUwvhY8IM.net

>>248
ごめん言いたいことが全然分からんのだが

いつ誰が距離関数は連続関数じゃないといけないなんて言った?

145 :以下、?ちゃんねるからVIPがお送りします:2018/10/14(日) 08:35:37.362 ID:t+jfDam80.net

{1}が開集合ってのが納得できない

327 :以下、?ちゃんねるからVIPがお送りします:2018/10/14(日) 11:34:01.706 ID:oUwvhY8IM.net

>>322
いやもちろんそうだけど
背理法で逆が連続でないなら ある近傍が取れてその近傍上で連続でなくなるでしょ?
とすると本質的にaを十分大きく取って[-a,a]からの写像として考えれば十分じゃない?ってこと

166 :以下、?ちゃんねるからVIPがお送りします:2018/10/14(日) 09:05:07.158 ID:t+jfDam80.net

>>161
そのdは離散距離なんだろうけどこの場合離散距離を使うのはおかしくないか?
離散距離でε-Nが使えるとは思えない
普通の距離でやってよ

120 :以下、?ちゃんねるからVIPがお送りします:2018/10/14(日) 08:10:07.156 ID:dupdxAxF0.net

>>93
知らんから教えろ

135 :以下、?ちゃんねるからVIPがお送りします:2018/10/14(日) 08:28:09.774 ID:l2n8g/IRM.net

>>132
色々調べてもらってありがとう

そう結局位相によって極限という概念が初めて定まる

340 :以下、?ちゃんねるからVIPがお送りします:2018/10/14(日) 11:45:40.296 ID:iVaM1Fmva.net

そもそもイプシロンデルタで躓いてるやつ多すぎだろ

335 :以下、?ちゃんねるからVIPがお送りします:2018/10/14(日) 11:41:26.048 ID:t+jfDam80.net

>>164 で、正しく離散距離に当てはめてεを使わなくするとこうなる
実際εを使う必要ない

1=0.999… と仮定すると、
ある自然数N_0が存在して、
n≧N_0ならばd(1,a_n)=0

となるが、

任意のnに対してa_n≠1より
d(1,a_n)=1
したがって矛盾

離散距離の場合、「限りなく近づく」ことが出来ないので極限の定義は「有限ステップで一致する」に変化せざるを得ない

しかし、0.99999…は有限ステップでは1にはならない

247 :以下、?ちゃんねるからVIPがお送りします:2018/10/14(日) 10:18:05.279 ID:CodfjWqv0.net

ある自然数Nとか関係なくnを適当に大きくすればa_n∈{1}になるだろ

10 :以下、?ちゃんねるからVIPがお送りします:2018/10/14(日) 06:31:35.923 ID:mdr4xB8PM.net

>>9
当たり前だろ
数学でかんがえるまえに日本語で考えろよww

338 :以下、?ちゃんねるからVIPがお送りします:2018/10/14(日) 11:42:50.400 ID:Gxx8wdTs0.net

有限の離散モデルを無限に当てはめるとこう言う勘違いが生まれる

150 :以下、?ちゃんねるからVIPがお送りします:2018/10/14(日) 08:38:29.643 ID:8GQcMZNUF.net

気が済んだかガイジども

332 :以下、?ちゃんねるからVIPがお送りします:2018/10/14(日) 11:38:34.984 ID:tGsL5Dyd0.net

>>323
自分で定義しておいて論理破綻してるね
0.999…:=lim(n→∞)a_n
ではないっていってるだけなのに

21 :以下、?ちゃんねるからVIPがお送りします:2018/10/14(日) 06:42:51.673 ID:4m2Wuro30.net

愚地独歩かな?

84 :以下、?ちゃんねるからVIPがお送りします:2018/10/14(日) 07:39:40.181 ID:Vv/UKgnkr.net

証明できそう

259 :以下、?ちゃんねるからVIPがお送りします:2018/10/14(日) 10:27:00.744 ID:oUwvhY8IM.net

>>254
ε=1/2とすると
B(1;ε)={1}だが?

1+ε/2∈B(1;ε)は間違ってるんだが?

324 :以下、?ちゃんねるからVIPがお送りします:2018/10/14(日) 11:32:36.680 ID:As6cFpSCM.net

0や1は明確に空集合φや{φ}だと定義していることが周知の事実だが、
アとかイはどんな集合なのかまるで不明だから、
本質的には{0,1}と{ア,イ}の間に良い写像が存在すると言う以前に数学的な文言になってない

189 :以下、?ちゃんねるからVIPがお送りします:2018/10/14(日) 09:31:17.790 ID:l2n8g/IRM.net

>>188

いつRの距離がいかなるときでもユークリッド距離じゃないといけないと言ったんだ?
どこの学派だねそんなマヌケな学派は

248 :以下、?ちゃんねるからVIPがお送りします:2018/10/14(日) 10:18:31.207 ID:t+jfDam80.net

>>240
距離が0か1しかないのにεの値は実数で普通に0や1と大小関係あるのか?

134 :以下、?ちゃんねるからVIPがお送りします:2018/10/14(日) 08:27:18.738 ID:/kL3yCq20.net

>>131
それを言おうと思っていろいろ質問したり調べたりはしてたんだがもう俺の理解力が追いつかない…

208 :以下、?ちゃんねるからVIPがお送りします:2018/10/14(日) 09:48:14.365 ID:l2n8g/IRM.net

>>206
はぁーーー
まだ勘違いしてるな

その「近い」って概念自体が位相が定まらなければ定義出来ないのよ
ある意味近さの概念を入れたいがために位相って概念があんのよ

実数R
ってこれだけじゃただの数の集まりってだけで関係性なにもないでしょ?

だから順序とか距離とか代数とかを「後から定義」して
空間にして近いだとか大きいだとかを定義すんのよ

293 :以下、?ちゃんねるからVIPがお送りします:2018/10/14(日) 11:11:17.239 ID:nnLqahHs0.net

最近知ったんだけど超準解析って面白いな
無限に小さい数という曖昧なものを含んだRの拡大体を作ってそれで実解析のあらゆる定義をε-δ一切使わずに通常の同値になる定義で定義できてしまうやつ
何がすごいって解析なのに基礎論のレーヴェンハイム・スコーレムの定理が背景にあること

152 :以下、?ちゃんねるからVIPがお送りします:2018/10/14(日) 08:41:42.927 ID:FgUpQl3Ka.net

>>1
>0.999…9(9がn個)=a_nとし、
>0.999…:=lim(n→∞)a_nと定義する.

>1=0.999…と仮定する

ならば
0=0.000….1が成立するかどうか証明しないと

260 :以下、?ちゃんねるからVIPがお送りします:2018/10/14(日) 10:27:31.779 ID:wWHogpCw0.net

lim_[n→∞] a_n が収束しないのに 1 = lim_[n→∞] a_n と仮定するのは違和感

32 :以下、?ちゃんねるからVIPがお送りします:2018/10/14(日) 06:57:48.242 ID:mdr4xB8PM.net

>>30
1未満だった

144 :以下、?ちゃんねるからVIPがお送りします:2018/10/14(日) 08:34:57.380 ID:l2n8g/IRM.net

>>142
まじだわ
失礼しました

343 :以下、?ちゃんねるからVIPがお送りします:2018/10/14(日) 11:50:37.443 ID:As6cFpSCM.net

>>321
イコールだぞ
a_n=Σ9/10^kで、ς=lim a_nとなるςを0.999……と形式的に書いてるだけ

147 :以下、?ちゃんねるからVIPがお送りします:2018/10/14(日) 08:35:55.916 ID:l2n8g/IRM.net

244 :以下、?ちゃんねるからVIPがお送りします:2018/10/14(日) 10:15:09.829 ID:t+jfDam80.net

>>233
現在一般的に使われる、実数とか公理とか、そこから形作られる数学の世界を眺めるのに役に立つかということ
全く新しい世界を作ってそこではこうですと言われても嬉しくない

離散位相が全部だめと言ってるわけじゃないが、「同じか違うか」しかない世界を使って今の実数の極限の感覚的に合わないところを説明されても別世界のことなんだから関係ない

153 :以下、?ちゃんねるからVIPがお送りします:2018/10/14(日) 08:41:58.403 ID:l2n8g/IRM.net

>>151
特殊どころかどんな位相空間でも空集合と全体集合は開かつ閉集合だわww

201 :以下、?ちゃんねるからVIPがお送りします:2018/10/14(日) 09:42:54.911 ID:Xcl8FlzX0.net

57 :以下、?ちゃんねるからVIPがお送りします:2018/10/14(日) 07:13:02.324 ID:rW+ospFp0.net

>>53
末尾Mって5000円くらいの格安スマホしか買えない貧乏人の証やぞ
こんなんNGやろなぁ

60 :以下、?ちゃんねるからVIPがお送りします:2018/10/14(日) 07:15:52.726 ID:mdr4xB8PM.net

>>59
すまんわからんw

93 :以下、?ちゃんねるからVIPがお送りします:2018/10/14(日) 07:46:20.882 ID:l2n8g/IRM.net

>>92
位相空間論は知ってるかどうか

221 :以下、?ちゃんねるからVIPがお送りします:2018/10/14(日) 09:54:24.083 ID:vqgJFlYW0.net

数学習いたてのゆとりだけどこのスレ参考になるね

186 :以下、?ちゃんねるからVIPがお送りします:2018/10/14(日) 09:29:13.023 ID:+5a7jbyWa.net

なるとするかどうかは学者で好きに決めれば良いがコンピュータが同じにできないから凡人にとっちゃ全く別の数字と扱わざるをえない

177 :以下、?ちゃんねるからVIPがお送りします:2018/10/14(日) 09:20:06.439 ID:l2n8g/IRM.net

>>175
>>138
はい論破

196 :以下、?ちゃんねるからVIPがお送りします:2018/10/14(日) 09:39:03.366 ID:t+jfDam80.net

お前のいう離散位相では極限というものは存在し得ないんじゃないか?
そんなとこでε-N論法を使うのは矛盾している

77 :以下、?ちゃんねるからVIPがお送りします:2018/10/14(日) 07:29:37.488 ID:/kL3yCq20.net

>>75
近傍系ってのは中心の数を含んだ数直線上の一部分を考えればいいんでしょ?
とすると1でない実数もN(1)に含まれていて1≠a_nよりa_nはN(1)の元ではないってのは不十分だと思う

224 :以下、?ちゃんねるからVIPがお送りします:2018/10/14(日) 09:55:28.749 ID:Xcl8FlzX0.net

>>211
そのってどの否定?
ちゃんと論理展開しようね
ガキじゃないんだからさあ

342 :以下、?ちゃんねるからVIPがお送りします:2018/10/14(日) 11:47:43.668 ID:XCMpddsb0.net

当たり前だろ幼稚園児でもわかる

42 :以下、?ちゃんねるからVIPがお送りします:2018/10/14(日) 07:02:13.173 ID:l2n8g/IRM.net

>>39
イプシロン-N論見直してくれ

あと任意のnで成り立つから極限でも成り立つなんてこと一言も言ってない

39 :以下、?ちゃんねるからVIPがお送りします:2018/10/14(日) 07:00:23.488 ID:/kL3yCq20.net

任意のnについて成り立たないから極限で成り立たないってのは間違ってるでしょ

40 :以下、?ちゃんねるからVIPがお送りします:2018/10/14(日) 07:00:57.391 ID:mdr4xB8PM.net

>>37
vipperだったら1じゃないってわかるだろ、ここ天才しかいないからな

188 :以下、?ちゃんねるからVIPがお送りします:2018/10/14(日) 09:30:13.876 ID:t+jfDam80.net

>>183
離散距離ってのは値が同じか違うかしか区別しないわけだが、ということは距離は0か1しかないわけだが、
そんなとこでεの値が小数になるのか?
離散位相でε-N論法が使えるとする根拠は?

123 :以下、?ちゃんねるからVIPがお送りします:2018/10/14(日) 08:11:58.654 ID:l2n8g/IRM.net

>>120
距離空間は知ってるかどうか

>>121
ちがうww

しかし勘違いしないでほしい
閉集合だからといって
開集合じゃないとは言えない

294 :以下、?ちゃんねるからVIPがお送りします:2018/10/14(日) 11:11:20.599 ID:lDqkiZrN0.net

(有限の)任意の自然数nに対してa_n∈{1}ではない

の(有限の)は抜けている
limで無限を想定しているのに有限の話を持ち出している

論理が破綻している

証明終わり

307 :以下、?ちゃんねるからVIPがお送りします:2018/10/14(日) 11:20:27.237 ID:5obJ3jlT0.net

そもそも離散空間として扱うことが適切かどうかも屁理屈にはいってないしな

263 :以下、?ちゃんねるからVIPがお送りします:2018/10/14(日) 10:29:03.300 ID:oUwvhY8IM.net

>>261
1と0は0<1という厳密な大小関係あるだろが

53 :以下、?ちゃんねるからVIPがお送りします:2018/10/14(日) 07:07:33.673 ID:/cWR3k0A0.net

ああ末尾Mであってたか
今回も論破されなさそう

290 :以下、?ちゃんねるからVIPがお送りします:2018/10/14(日) 11:05:49.077 ID:oUwvhY8IM.net

194 :以下、?ちゃんねるからVIPがお送りします:2018/10/14(日) 09:36:59.722 ID:l2n8g/IRM.net

>>192
まあね
そもそもないんだけども
>>193
???
すんげートンチンカンなこと言ってるなお主
ε-N論法って知ってる?
なにがどう定義に反するのか具体的に頼む

192 :以下、?ちゃんねるからVIPがお送りします:2018/10/14(日) 09:35:05.032 ID:+NUxCAxw0.net

離散位相上ではこの数列a_nの極限lim(a→∞)a_nは存在しないしな

114 :以下、?ちゃんねるからVIPがお送りします:2018/10/14(日) 08:03:25.437 ID:oALyTald0.net

>>113
わかんね

132 :以下、?ちゃんねるからVIPがお送りします:2018/10/14(日) 08:26:17.371 ID:/kL3yCq20.net

>>1の真偽確かめるには多分ある程度詳しく集合論やってないと無理だわ
同じ集合でも開集合か閉集合かが考える位相空間によって違うとかもうわけわからん
今まで付き合ってくれてありがとう申し訳ないが俺は寝る…

213 :以下、?ちゃんねるからVIPがお送りします:2018/10/14(日) 09:50:26.229 ID:R35j5Grx0.net

いつも思うけどVIPって勉強の面では頭いい奴多いよな

336 :以下、?ちゃんねるからVIPがお送りします:2018/10/14(日) 11:41:30.050 ID:As6cFpSCM.net

>>329
違わない
集合であって別の集合の要素なだけ

65 :以下、?ちゃんねるからVIPがお送りします:2018/10/14(日) 07:19:19.856 ID:/kL3yCq20.net

>>62
質問ばっかりで申し訳ないんだが開集合ってなに?
調べてはみたがよくわからないんだ

276 :以下、?ちゃんねるからVIPがお送りします:2018/10/14(日) 10:42:08.507 ID:oUwvhY8IM.net

逆像 像

定義域 値域

混同してはならぬ

47 :以下、?ちゃんねるからVIPがお送りします:2018/10/14(日) 07:05:05.892 ID:l2n8g/IRM.net

極限でも成り立つ

なんか一言も言ってないだろww

フシアナかよww

だからイプシロン-N論見直せば全部分かるってw

317 :以下、?ちゃんねるからVIPがお送りします:2018/10/14(日) 11:27:23.123 ID:oUwvhY8IM.net

>>312
1を含む開集合です

314 :以下、?ちゃんねるからVIPがお送りします:2018/10/14(日) 11:24:50.649 ID:oUwvhY8IM.net

>>310
いや変わるから

意味はもちろんあるだろ

少なくとも中心1,半径1/2のボールB(1;1/2)みたいなのは定義できるわけだし

26 :以下、?ちゃんねるからVIPがお送りします:2018/10/14(日) 06:52:53.731 ID:l2n8g/IRM.net

>>25
そもそも実数上に存在しない

103 :以下、?ちゃんねるからVIPがお送りします:2018/10/14(日) 07:56:03.527 ID:l2n8g/IRM.net

>>100
境界の定義を思い出して

Aの境界∂Aの定義
x∈∂Aならば
任意のU∈N(x)に対して、U∩AもU∩A^cも空じゃない

ここでA={1}で考えると
U={1}とすれば
{1}∩A^cは空集合だから
そもそも境界は存在しない

158 :以下、?ちゃんねるからVIPがお送りします:2018/10/14(日) 08:46:32.702 ID:l2n8g/IRM.net

>>156
ごめん>>142の指摘通り
=と≠を書き間違いしてた

243 :以下、?ちゃんねるからVIPがお送りします:2018/10/14(日) 10:14:29.718 ID:l2n8g/IRM.net

>>242
Yes

70 :以下、?ちゃんねるからVIPがお送りします:2018/10/14(日) 07:24:40.090 ID:2UOwbKDi0.net

証明しなくても0.9999…は1じゃないと思うんだが

339 :以下、?ちゃんねるからVIPがお送りします:2018/10/14(日) 11:44:06.990 ID:AsQNhwwD0.net

小数点以下は無限なのにn個って変じゃない??

269 :以下、?ちゃんねるからVIPがお送りします:2018/10/14(日) 10:34:25.465 ID:wWHogpCw0.net

直感的にも離散位相だと 1≠0.999… だったな
矛盾を探そうとするのが間違いだったか

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